TUGAS IAD HIMPUNAN DAN BILANGAN

Nama : Anisa Triananda

Kelas : 1PA15

NPM : 11513080

PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan benda-benda (objek) yang mempunyai batasan yang jelas.

Contoh :

- Kumpulan hewan yang berkaki dua 
-  Kumpulan mahasiswa Jurusan Psikologi Universitas Gunadarma

Yang bukan himpunan :

- Kumpulan hewan yang lucu 
- Kumpulan laki-laki tampan

Dalam matematika, suatu himpunan dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya : A,B,C ,D,...,Z. Benda-benda (objek) dari suatu himpunan tersebut ditulis di antara kurung kurawal dan dipisah dengan tanda koma, misalnya:

1.      A adalah nama bulan yang dimulai dengan huruf J , A= {Januari, Juni, Juli}.

2.      B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 7, maka B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Perhatikan untuk himpunan di atas:

-          Himpunan A = {Januari, Juni, Juli}

Januari merupakan anggota A ditulis Januari A.

Maret bukan anggota A (karena nama bulan tidak dimulai dengan huruf J)

-          Himpunan B = {1, 2, 3, 4, 5}

1 anggota B ditulis 1  B

7 bukan anggota B

Contoh Soal  :

1.      Tuliskan himpunan-himpunan di bawah ini.

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10.

M adalah nama-nama hari dalam seminggu.

Penyelesaian:

a.A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. b.

M = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

2.      Tulis dalam bentuk himpunan kata-kataberikut.

a.NUSANTARA

b.MATEMATIKA

Penyelesaian :

a.{N, U, S, A, T, R}

b.{M, A, T, E,I, K}

2. DIAGRAM VENN

Diagram Venn adalah suatu bentuk gambar himpunan untuk memperjelas gambaran kita tentang himpunan. Diagram Venn pertama kali diperkenalkan oleh John Venn, seorang ahli matematika dari Scotlandia-Inggris yang hidup pada tahun 1881.

1. Dalam diagram Venn, himpunan semesta digambarkan dengan persegi panjang dengan simbol S diletakkan pada bagian sudut kiri atas.

2. Himpunan di dalam semesta pembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus tertutup sederhana.

3. Setiap anggota himpunan digambarkan dengan noktah-noktah, tetapi apabila jumlah anggota dari himpunan itu cukup banyak maka noktah-noktah sebagai lambang anggota himpunan tidak perlu dilukiskan.

Contoh:

1. Diketahui:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 1, 4, 6, 7 }
B = { 2, 4, 5, 8 }

Diagram Venn-nya sebagai berikut:

OPERASI HIMPUNAN

1.  Irisan

Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya.

Contohnya: Irisan himpunan A dan B
A n B = { x | x A dan B }
Jika A = { 2, 7, 9, 11 }
Jika B = { 1, 5, 9, 10}
Maka A n B = 9

Contoh Soal

Diketahui :

K = {bilangan Prima antara 2 dan 12}

L = {4 bilangan kelipatan 3 yang pertama}

Irisan (intersection) himpunan K dan himpunan L adalah...

Penyelesaian :

K = {3,5,7,11}

L = {3,6,9,12}

Jadi, K L = 3.

OPERASI HIMPUNAN

Jenis Operasi		Hukum dan sifat-sifat Operasi
1	Gabunan (Union)	A U B = B U A disebut sifat komutatif gabungan (A U B) U C = A U (B U C) disebut sifat asosiatif gabungan A U Ø = A A U U = U A U A = A A  U A’ = U Disebut sifat komplemen gabungan
2	Irisan (intersection)	A W B = B W A disebut sifat komutatif irisan A W A = A A W  = Ø A W U = A A W A’ = Ø disebut sifat komplemen irisan (A W B) W C = A W (B W A) disebut sifat asosiatif irisan
2	Distributif	A U (B W C) = (A U B) W (A U C); disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan. A W (B U C) = (A W B) U (A W C); disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.
3	Selisih	A – A = Ø A – Ø = A A – B = A W B’ A – (BUC) = (A – B)W (A – C) A – (B W C) = (A – B)U(A – C)
4	Komplemen	(A’)’ = A U’ = Ø Ø’ = U AUA’ = U AWA’ = U AWA’= Ø
5	Banyaknya Anggota	n(A) + n(B) K n(AUB) n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AWB) n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AWB) – n(BWC) – n(CWA) + n(AWBWC) n(A) + n(B) = n(AUB) + n(AWB) n(A) + n(B) + n(C) =n(AUBUC) + n(AWB) + n(AWC) + n(BWC) – n(AWBWC)

MACAM-MACAM HIMPUNAN

1.      Himpunan Kosong :

Himpunan yang tidak memiliki elemen atau unsur. Simbol {  } atau Ø

Contoh :

- himpunan bilangan genap kurang dari 2

- himpunan bilangan genap yang habis dibagi 3

2.      Himpunan Bagian (subset), yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada himpunan yang lain.

Contoh :

Jika A = { 4, 5, 6, 7 } dan B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } maka A Ì B (A subset dari B) sedangkan  B É A  ( B superset dari A) karena B mengandung semua elemen dari A.

3.      Himpunan berhingga dan Himpunan Tak Berhingga

Perhatikanlah himpunan-himpunan berikut.

a. M ={–5, –4, –3, –2, –1, 0}

b. N ={15, 16, 17, 18, ..., 50}

c. O ={1, 3, 5, 7, 9, ...}

d. P ={2, 4, 6, 8, ...}

Pada himpunan M di atas, semua anggota himpunan terdaftar, yaitu –5, –4, –3, –2, –1, 0.Banyak anggota himpunan M ada 6, dan dinotasikan dengan n(M) = 6.

Pada himpunan N, tidak semua terdaftar, tapi anggota terakhir dituliskan, yaitu 50. Jikakamu hitung nilai dari 15, 16, 17, ... dan berakhir pada 50 anggotanya ada 36, dinotasikandengan n(N) = 36.

Himpunan M dan N disebut himpunan hingga atau himpunan berhingga. Kemudian coba perhatikan himpunan O dan P, kita tidak dapat menghitung banyak anggotanya, karenatidak diketahui anggota terakhir.

Jadi, himpunan O dan P disebut himpunan tak hingga atau himpunan tak berhingga.Bilangan yang menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan disebut bilangan kardinal

Contoh Soal :

1.              Jika  P adalah himpunan nama bulan Masehi dalam setahun dimulai dengan huruf J .Tentukan n(J).

Penyelesaian:

P = {Januari, Juni, Juli}

Banyak anggota P ada, maka n(P) = 3. P himpunan berhingga.

2.      H adalah himpunan prima yang kurang dari 10. Tentukan n(H), apakah H berhingga?

Penyelesaian:

H ={2, 3, 5, 7}.

Banyak anggota H ada 4, maka n(H) = 4. H himpunan berhingga

4.      Himpunan Semesta(S)

Suatu himpunan yang elemen/unsur anggotanya merupakan keseluruhan dari objek-objek pembicaraan didalam himpunan itu sendiri.

Contoh :

Misal, U = himpunan dari mahasiswa-mahasiswa UG

Maka :

U = {x | x adalah mahasiswa UG}

P = {x | x adalah mahasiswa FEUG}

Q = {x | x adalah anggota MAPALA UG}

Dikatakan P É U dan Q É U sehingga U disebut sebagai himpunan semesta.

5.      Himpunan Bersandi

Jika A dalah himpunan dan B juga himpunan maka Himpunan A dikatakan himpunan bersandi  dari himpunan B jika dan hanya jika paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen dari kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama.

Contoh : A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,} B= {1,3,5,7,9,11,13,}

Jadi A bersandi B= {1,3,5,7,9}

6.      Himpunan Sama

Jika A suatu himpunan dan b juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan Himpunan sama dengan himpunan B ,jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan A dan x elemen berada pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya, maka dikatakan himpunan sama.

Contoh :

-          A={1,2,3,4} B={4,3,2,1}

Jadi A=B

7.      Himpunan Sederajat

Jika A merupakan suatu himpunan dan b juga merupaakan suatu himpunan, maka himpunan a dikatakan himpunan sederajat dengan himpunan B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah bilangan kardinal.

Contoh :

-          A={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}

B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

N(A)=10

N(B)=10

N(A)=N(B)

Jadi A sederajat dengan B

8.      Himpunan Kuasa

Yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunan-himpunan bagian dari suatu

Himpunan.

Contoh :

-          Jika A = {a, b, c}, maka himpunan kuasa dari A adalah :

2A= { ø, {a}, {b}, {c},{a,b}, {a,c}, {b,c}, A}

Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian

Untuk mengetahui banyaknya himpunan bagian suatu himpunan, pelajari pola dari tabel berikut.

Tabel 1.1

Himpunan	Banyaknya Anggota	Himpunan Bagian	Banyaknya Himpunan Bagian
{a}	1	{}, {a}	2 = 21
{a, b}	2	{},{a}, {b},{a, b}	4 = 22
{a, b, c}	3	{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}	8 = 23
{a, b, c, d}	4	{}, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, { b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}	16 = 24
{a, b, c, d,...}	n	{}, {a}, {b}, {c}, {d},...	2n

Kesimpulan:

Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2ⁿ, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.

Bilangan BULAT dan Bilangan RIIL

Bilangan riil

Bilangan riil atau sering disebut juga bilangan real dalam matematika menyatakan suatu bilangan yang dapat dibentuk menjadi desimal seperti 3.2678. Bilangan riil ini meliputi bilangan rasional yang direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir dan bilangan irasional yang direpresentasikan dalam bentuk desimal berulang. Untuk bilangan riil sendiri direpresentasikan sebagai salah satu titik pada garis bilangan.

Contoh Soal :

Intan membeli sepeda dan kemudian menjual kembali dengan harga Rp. 800.000,00-.  Jika ternyata ia untung 25 %, maka harga pembelian sepeda tersebut adalah ....

Pembahasan :

Harga beli dengan untung p% adalah = Harga jual ×

Harga beli

= Rp. 800.000,00 ×

= Rp. 800.000,00 ×

= Rp. 640.000,00

Jadi harga beli sepeda Rp. 640.000,00

Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif.

URUTAN BILANGAN BULAT
Perhatikan gambar berikut.

dari gambar di atas kamu akan menemukan bahwa semakin ke kanan, bilangan bulat pada garis bilangan tersebut semakin besar, sebaliknya semakin ke kiri, bilangan bulat pada garis bilangan semakin kecil. Misalnya:

• -2 terletak di sebelah kiri 0 sehingga -2 < 0;
• 0 terletak di sebelah kanan -1 sehingga 0 > -1;
• -5 terletak di sebelah kiri -3 sehingga -5 < -3;
• -4 terletak di sebelah kanan -6 sehingga -4 > -6.

OPERASI BILANGAN BULAT
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat

Menjumlahkan bilangan bulat negatif dengan bilangan positif.
Misalnya :
-5 + 8 = 3
-4 + 9 = 5

Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi	N	Z	Q	R	C